微积分到底是干啥的

 最近在给学生上微积分课的时候，遇到学生各种各样的问题：

求导不就是微分吗，怎么还有区别啊！

换元求积分为什么还跟求导有关系？

求体积的方法有这么多，我到底用哪一种？

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其实这些问题是很多同学学习时都会有的疑问，毕竟微积分5分容错率相对较高，很大比例的问题依靠对公式“死记硬背”即可解决。

对基础概念的和公式的意义可以“不求甚解”。但是一旦遇到了复杂的问题，往往无从下手，只能选择性放弃。

为了解决以上疑问，我们需要来弄明白最本质的问题，到底什么是微积分？微积分能用来做什么？

首先来看微积分这个词，我们把它拆开就是微分+积分。微分，顾名思义，就是把一个整体拆分成微小的单元。积分, 顾名思义，就是把微小的单元累积起来变成一个整体。

微分和积分是两个相逆的过程。 那么具体我们怎么去运用微分和积分呢？

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举一个简单的例子

这是我家的一个乐高小人，他长的很帅气，但是我总觉得他的身材比例不协调(可能是头太大？)。于是我想测一测，到底他的头和身体的比例是多少，但是如何测量呢？

 

从上图中看出，它的身体各个部分并不是常见的规则图形，所以无法直接测出头或身体的大小。这候我们就需要用到微分，通俗的讲，就是“拆”！

 

拆开后，我们可以看出，若忽略连接处的凸起，拆出的每个小块近似可以看做长方体，而长方体的体积相信所有人都不陌生。

这时我们就可以算出每个长方体的体积，最终把他们加在一起就是我们需要的各个部分的体积了，这个步骤叫做积分。

当然，这个小人属于棱角比较分明的，所以我们可以把他拆分成长方体。

但现实生活中的大多数物体的表面都是“圆滑”曲线，若还是把它们微分成方形，是否就失真了呢？

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为解释以上问题，引入两个概念

● 概念一：像素

像素是指由图像的小方格组成的，这些小方块都有一个明确的位置和被分配的色彩数值，小方格颜色和位置就决定该图像所呈现出来的样子，比如以下这个蜘蛛侠，每个小方格就代表了一个像素。

 

15*25

( 马赛克风蜘蛛侠 )

● 概念二：分辨率

通常情况下，图像的分辨率越高，所包含的像素就越多，图像就越清晰。我们现在每天用的电脑屏幕有不同的分辨率。

眼下我用来编辑文章的这台电脑是4K分辨率，意味着一个屏幕上有接近4096×2160个像素点。

大多数电脑的分辨率是1440x900或者2880x1800等等。现在我们可以直观看一下不同分辨率的效果图，可对比以上马赛克风蜘蛛侠。

 

128*128

( 轮廓已经圆滑，但是细节很模糊 )

 

2048*2048

( 细节很完善，光影变化流畅 )

从这对比图中我们可以发现，当我们的像素足够多，或者说，把一个图片微分到足够小的时候，有多少像素，相当于微分成了多少个单元。

这些小的方块拼接成的整体和实体会非常接近。其实在128*128的图片中，已经看不出是由小方块构成的了。

而随着科技进步，分辨率也会逐步提高，如果未来我们能够把图片无限细分下去，像素点个数接近于无穷。

最终通过小方块累加得到的总体就会和实体一模一样，从而解决了“失真”的问题。这就是微积分里近似和极限的思想。

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从现实的例子回归到微积分题目

1.题目描述

怎么选择方法去计算一个物体的体积？我们来看下面的这个例子。这是16年AP微积分BC里的一道简答题，题目不难，需要计算这个漏斗的体积。

 

 

很多同学拿到题目就开始从脑海里检索背过的公式。但是最终不知道用哪个公式。那么正确的思路应该是什么？

2.正确的解题思路

根据前两个例子，我们第一步要想清楚如何去微分，微分的目的是把不熟悉的图形分割成熟悉可以处理的图形。

如果再分割成正方体其实也可以，但是过于复杂，我们学过的常见图形可不止立方体一种，比如在这里我们可以尝试把这个漏斗切分成小薄片。

如下图所示，微分之后我们会发现，每个小薄片都可以看做是一个小的圆柱体，圆柱也是我们非常熟悉的图形。

 

为了能够看清，薄片画的比较厚

圆柱的体积是πr^2h。在这里h非常小,我们记做dh，每个薄片的体积就可以表示成πr^2dh。

最后，我们只需要将h从0到10的这些小圆柱加在一起，根据我们的经验，只要分割的足够细，这个总和就会与漏斗的体积完全相同。

那么在微积分里，总体积可以表示如下：

 

最后一步，我们把题目中 r 和 h 的关系代入即可求得结果(此处省略计算结果)。

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理解原理比背公式和套用公式更加重要

上面这道题是众多体积计算中比较简单的一类，还有很多其他体积计算的问题。AP微积分中需要掌握的是圆盘法，圆柱壳法，固定横截面积的体积计算等等。

除了计算体积，微积分也可以用在很多其他的地方。比如研究变速运动，函数的最值，物体的重心等，甚至有位清华的学生用微积分来研究薯片掉在地上是否还能吃。

无论研究什么，都离不开先微分再积分的过程。因此理解微积分的原理比背公式和套用公式更加重要。