高等数学基础知识

高等数学一（一元极限、连续、导数和微分及其应用），高等数学二（不定积分、定积分及其应用和常微分方程），高等数学三（空间解析几何、多元函数微分学），高等数学四（重积分、曲线曲面积分、级数）四个部分。

1.导数定义：

导数和微分的概念

$f'({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$    （1）

或者：

$f'({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$           （2）

2.左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：${{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}},(x={{x}_{0}}+\Delta x)$

右导数：${{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}$

3.函数的可导性与连续性之间的关系

• 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_0$处可导
• 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。
• ${f}'({{x}_{0}})$存在$\Leftrightarrow {{{f}'}_{-}}({{x}_{0}})={{{f}'}_{+}}({{x}_{0}})$
• 平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-{{y}_{0}}=f'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})$

法线方程：$y-{{y}_{0}}=-\frac{1}{f'({{x}_{0}})}(x-{{x}_{0}}),f'({{x}_{0}})\ne 0$

5.四则运算法则

设函数$u=u(x)，v=v(x)$]在点$x$可导则

(1) $(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'$       $d(u\pm v)=du\pm dv$

(2)$(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$        $d(uv)=udv+vdu$

(3) $(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{{{v}^{2}}}(v\ne 0)$       $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{{{v}^{2}}}$

6.基本导数与微分表

(1) $y=c​$（常数）       ${y}'=0​$          $dy=0​$

(2) $y={{x}^{\alpha }}​$($\alpha ​$为实数)    ${y}'=\alpha {{x}^{\alpha -1}}​$      $dy=\alpha {{x}^{\alpha -1}}dx​$

(3) $y={{a}^{x}}​$      ${y}'={{a}^{x}}\ln a​$         $dy={{a}^{x}}\ln adx​$

  特例:   $({{{e}}^{x}}{)}'={{{e}}^{x}}​$             $d({{{e}}^{x}})={{{e}}^{x}}dx​$

(4) $y={{\log }_{a}}x$   ${y}'=\frac{1}{x\ln a}$           

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$

  特例:$y=\ln x$                      $(\ln x{)}'=\frac{1}{x}$       $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$         

${y}'=\cos x$        $d(\sin x)=\cos xdx$

(6) $y=\cos x$      

${y}'=-\sin x$       $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$  

${y}'=\frac{1}{{{\cos }^{2}}x}={{\sec }^{2}}x$  $d(\tan x)={{\sec }^{2}}xdx$

(8) $y=\cot x$ ${y}'=-\frac{1}{{{\sin }^{2}}x}=-{{\csc }^{2}}x$  $d(\cot x)=-{{\csc }^{2}}xdx$

(9) $y=\sec x$ ${y}'=\sec x\tan x$     

 $d(\sec x)=\sec x\tan xdx$

(10) $y=\csc x$ ${y}'=-\csc x\cot x$    

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$

(11) $y=\arcsin x$  

${y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$   

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(12) $y=\arccos x$ 

${y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$     $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}dx$

(13) $y=\arctan x$ 

${y}'=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$     $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(14) $y=\operatorname{arc}\cot x$      

${y}'=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$   

$d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx$

(15) $y=shx$    

${y}'=chx$       $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$    

${y}'=shx$       $d(chx)=shxdx$

7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则: 设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且${f}'(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

(2) 复合函数的运算法则:若$\mu =\varphi (x)$在点$x$可导,而$y=f(\mu )$在对应点$\mu $($\mu =\varphi (x)$)可导,则复合函数$y=f(\varphi (x))$在点$x$可导,且${y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$

(3) 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法：

1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数.例如$\frac{1}{y}$，${{y}^{2}}$，$ln y$，${{{e}}^{y}}$等均是$x$的复合函数.

对$x$求导应按复合函数连锁法则做.

2)公式法.由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{{{{{F}'}}_{x}}(x,y)}{{{{{F}'}}_{y}}(x,y)}$,其中，${{{F}'}_{x}}(x,y)$，

${{{F}'}_{y}}(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数

3)利用微分形式不变性

8.常用高阶导数公式

（1）$({{a}^{x}}){{\,}^{(n)}}={{a}^{x}}{{\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({{{e}}^{x}}){{\,}^{(n)}}={e}{{\,}^{x}}$

（2）$(\sin kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$

（3）$(\cos kx{)}{{\,}^{(n)}}={{k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{{2}})$

（4）$({{x}^{m}}){{\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){{x}^{m-n}}$

（5）$(\ln x){{\,}^{(n)}}={{(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{{{x}^{n}}}$

（6）莱布尼兹公式：若$u(x)\,,v(x)$均$n$阶可导，则

 ${{(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{{u}^{(i)}}{{v}^{(n-i)}}}$，其中${{u}^{({0})}}=u$，${{v}^{({0})}}=v$

9.微分中值定理，泰勒公式

(费马定理)

若函数$f(x)$满足条件：

(1)函数$f(x)$在${{x}_{0}}$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有

$f(x)\le f({{x}_{0}})$或$f(x)\ge f({{x}_{0}})$,

(2) $f(x)$在${{x}_{0}}$处可导,则有 ${f}'({{x}_{0}})=0$

(罗尔定理) 

设函数$f(x)$满足条件：

(1)在闭区间$[a,b]$上连续；

(2)在$(a,b)$内可导；

(3)$f(a)=f(b)$；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使  ${f}'(\xi )=0$

(拉格朗日中值定理) 

设函数$f(x)$满足条件：

(1)在$[a,b]$上连续；

(2)在$(a,b)$内可导；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使  $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$

(柯西中值定理)

 设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件：

(1) 在$[a,b]$上连续；

(2) 在$(a,b)$内可导且${f}'(x)$，${g}'(x)$均存在，且${g}'(x)\ne 0$

则在$(a,b)$内存在一个$\xi $，使  $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{{f}'(\xi )}{{g}'(\xi )}$

10.洛必达法则

法则Ⅰ ($\frac{0}{0}$型)

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：

 $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$; 

$f\left( x \right),g\left( x \right)$在${{x}_{0}}$的邻域内可导，(在${{x}_{0}}$处可除外)且${g}'\left( x \right)\ne 0$;

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。

则:

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$。

法则${{I}'}$ ($\frac{0}{0}$型)设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$;

存在一个$X>0$,当$\left| x \right|>X$时,$f\left( x \right),g\left( x \right)$可导,且${g}'\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。

则:

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$

法则Ⅱ($\frac{\infty }{\infty }$型) 设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty $;   $f\left( x \right),g\left( x \right)$在${{x}_{0}}$ 的邻域内可导(在${{x}_{0}}$处可除外)且${g}'\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。则

$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}.$同理法则${I{I}'}$($\frac{\infty }{\infty }$型)仿法则${{I}'}$可写出。

11.泰勒公式

设函数$f(x)$在点${{x}_{0}}$处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于${{x}_{0}}$的任意点$x$，在${{x}_{0}}$与$x$之间至少存在

一个$\xi $，使得：

$f(x)=f({{x}_{0}})+{f}'({{x}_{0}})(x-{{x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({{x}_{0}}){{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+\cdots $ 

$+\frac{{{f}^{(n)}}({{x}_{0}})}{n!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$

 其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{(x-{{x}_{0}})}^{n+1}}$称为$f(x)$在点${{x}_{0}}$处的$n$阶泰勒余项。

令${{x}_{0}}=0$，则$n$阶泰勒公式

$f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}{{x}^{n}}+{{R}_{n}}(x)$……(1)

其中 ${{R}_{n}}(x)=\frac{{{f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}$，$\xi $在0与$x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

常用五种函数在${{x}_{0}}=0$处的泰勒公式

(1) ${{{e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}{{e}^{\xi }}$ 

或 $=1+x+\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或  $=x-\frac{1}{3!}{{x}^{3}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或   $=1-\frac{1}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{{{x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({{x}^{n}})$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+\frac{{{(-1)}^{n}}{{x}^{n+1}}}{(n+1){{(1+\xi )}^{n+1}}}$

或      $=x-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\cdots +{{(-1)}^{n-1}}\frac{{{x}^{n}}}{n}+o({{x}^{n}})$

(5) ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}$ 

$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{{x}^{n+1}}{{(1+\xi )}^{m-n-1}}$ 

或 ${{(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{{x}^{2}}+\cdots $ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{{x}^{n}}+o({{x}^{n}})$

12.函数单调性的判断

1）:  设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有$f\,'(x)>0$（或$f\,'(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

2）: （取极值的必要条件）设函数$f(x)$在${{x}_{0}}$处可导，且在${{x}_{0}}$处取极值，则$f\,'({{x}_{0}})=0$。

3）: （取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在${{x}_{0}}$的某一邻域内可微，且$f\,'({{x}_{0}})=0$（或$f(x)$在${{x}_{0}}$处连续，但$f\,'({{x}_{0}})$不存在。）

(1)若当$x$经过${{x}_{0}}$时，$f\,'(x)$由“+”变“-”，则$f({{x}_{0}})$为极大值；

(2)若当$x​$经过${{x}_{0}}​$时，$f\,'(x)$由“-”变“+”，则$f({{x}_{0}})$为极小值；

(3)若$f\,'(x)$经过$x={{x}_{0}}$的两侧不变号，则$f({{x}_{0}})$不是极值。

4）: (取极值的第二充分条件)设$f(x)$在点${{x}_{0}}$处有$f''(x)\ne 0$，且$f\,'({{x}_{0}})=0$，则 当$f'\,'({{x}_{0}})<0$时，$f({{x}_{0}})$为极大值；

当$f'\,'({{x}_{0}})>0$时，$f({{x}_{0}})$为极小值。

注：如果$f'\,'({{x}_{0}})<0$，此方法失效。

13.渐近线的求法

(1)水平渐近线   若$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，则

$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

(2)铅直渐近线   若$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty $，或$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty $，则

$x={{x}_{0}}$称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

(3)斜渐近线   若$a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$，则

$y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线。

14.函数凹凸性的判断

• (凹凸性的判别定理）若在I上$f''(x)<0$（或$f''(x)>0$），则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。
• (拐点的判别定理1)若在${{x}_{0}}$处$f''(x)=0$，（或$f''(x)$不存在），当$x$变动经过${{x}_{0}}$时，$f''(x)$变号，则$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$为拐点。
• (拐点的判别定理2)设$f(x)$在${{x}_{0}}$点的某邻域内有三阶导数，且$f''(x)=0$，$f'''(x)\ne 0$，则$({{x}_{0}},f({{x}_{0}}))$为拐点。

15.弧微分

$dS=\sqrt{1+y{{'}^{2}}}dx$

16.曲率

曲线$y=f(x)$在点$(x,y)$处的曲率$k=\frac{\left| y'' \right|}{{{(1+y{{'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}$。

对于参数方程$\left\{ \begin{align}  & x=\varphi (t) \\  & y=\psi (t) \\ \end{align} \right.,$$k=\frac{\left| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right|}{{{[\varphi {{'}^{2}}(t)+\psi {{'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}$。

17.曲率半径

曲线在点$M$处的曲率$k(k\ne 0)$与曲线在点$M$处的曲率半径$\rho $有如下关系：$\rho =\frac{1}{k}$。