卷积神经网络（CNN）前向传播算法

CNN的结构，包括输出层，若干的卷积层+ReLU激活函数，若干的池化层，DNN全连接层，以及最后的用Softmax激活函数的输出层。

CNN输入层前向传播到卷积层

前向传播的过程表示为：

$ a^2= \sigma(z^2) = \sigma(a^1*W^2 +b^2)$

其中，上标代表层数，星号代表卷积，而b代表我们的偏置, σ为激活函数，这里一般都是ReLU。

和DNN的前向传播比较一下，形式非常的像，只是我们这儿是张量的卷积，而不是矩阵的乘法。同时由于WW是张量，那么同样的位置，WW参数的个数就比DNN多很多了。

如果没有特殊说明，我们都默认输入是3维的张量，即用RBG可以表示的彩色图片。

这里需要我们自己定义的CNN模型参数是：

1.  一般我们的卷积核不止一个，比如有K个，那么我们输入层的输出，或者说第二层卷积层的对应的输入就K个。
2. 卷积核中每个子矩阵的的大小，一般我们都用子矩阵为方阵的卷积核，比如FxF的子矩阵。
3. 填充padding（以下简称P），我们卷积的时候，为了可以更好的识别边缘，一般都会在输入矩阵在周围加上若干圈的0再进行卷积，加多少圈则P为多少。
4.  步幅stride（以下简称S），即在卷积过程中每次移动的像素距离大小。

CNN隐藏层前向传播到卷积层

假设隐藏层的输出是M个矩阵对应的三维张量，则输出到卷积层的卷积核也是M个子矩阵对应的三维张量，表示为

$ a^l= \sigma(z^l) = \sigma(a^{l-1}*W^l +b^l)$

其中，上标代表层数，星号代表卷积，而b代表我们的偏倚, σσ为激活函数，这里一般都是ReLU。

也可以写成M个子矩阵子矩阵卷积后对应位置相加的形式，即：

$ a^l= \sigma(z^l) = \sigma(\sum\limits_{k=1}^{M}z_k^l) = \sigma(\sum\limits_{k=1}^{M}a_k^{l-1}*W_k^l +b^l)$

和上一节唯一的区别仅仅在于，这里的输入是隐藏层来的，而不是我们输入的原始图片样本形成的矩阵。

需要我们定义的CNN模型参数也和上一节一样，这里我们需要定义卷积核的个数K，卷积核子矩阵的维度F，填充大小P以及步幅S。

CNN隐藏层前向传播到池化层

池化层的目的是对输入的矩阵进行缩小概括。比如输入的若干矩阵是NxN维的，而我们的池化大小是kxk的区域，则输出的矩阵都是 $\frac{N}{k} \times \frac{N}{k}$ 维的。

需要我们定义的CNN模型参数是：

1. 池化区域的大小k
2. 池化的方式，一般是MAX或者Average

隐藏层前向传播到全连接层

由于全连接层就是普通的DNN模型结构，因此我们可以直接使用DNN的前向传播算法逻辑，即：

$a^l = \sigma(z^l) = \sigma(W^la^{l-1} + b^l)$

这里的激活函数一般是sigmoid或者tanh。

经过了若干全连接层之后，最后的一层为Softmax输出层。

这里需要需要我们定义的CNN模型参数是：

1. 全连接层的激活函数
2. 全连接层各层神经元的个数

CNN前向传播算法小结

输入：1个图片样本，CNN模型的层数L和所有隐藏层的类型，对于卷积层，要定义卷积核的大小K，卷积核子矩阵的维度F，填充大小P，步幅S。对于池化层，要定义池化区域大小k和池化标准（MAX或Average），对于全连接层，要定义全连接层的激活函数（输出层除外）和各层的神经元个数。

输出：CNN模型的输出 $a^L$

　　　　1）根据输入层的填充大小P，填充原始图片的边缘，得到输入张量 $a^1$。

　　　　2）初始化所有隐藏层的参数W,b

　　　　3）for l=2 to L−1:

　　　　　　a) 如果第 l 层是卷积层，则输出为：

                             $ a^l= ReLU(z^l) = ReLU(a^{l-1}*W^l +b^l)$

 　　　　　  b) 如果第 l 层是池化层，则输出为： $ a^l= pool(a^{l-1})$ ，这里的pool指按照池化区域大小k和池化标准将输入张量缩小的过程。

　　　　　   c) 如果第 l 层是全连接层，则输出为：

                             $ a^l= \sigma(z^l) = \sigma(W^la^{l-1} +b^l)$

　　　　4）对于输出层第L层：

                      $ a^L= softmax(z^L) = softmax(W^La^{L-1} +b^L)$